സംഖ്യകളുടെ അനന്തതാളം

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70.
1003, 1010, 1017, 1024, 1031, 1038.
333, 444, 555, 666, 777, ...
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23.

ആദ്യത്തെ മൂന്നു വരികളിലേയും സംഖ്യകളുടെ പ്രത്യേകത എല്ലാവര്‍ക്കും മനസ്സിലായി കാണുമെല്ലൊ. ഒരോ വരിയും ഓരോ സമാന്തരശ്രേണി (അരിത്തമെറ്റിക് പ്രൊഗ്രഷന്‍) ആണ്, അതായത് ഒരേ തോതില്‍ കൂടി കൂടി പോകുന്ന സംഖ്യകള്‍. പത്തിന്റെ നോട്ട്കെട്ടുകള്‍ എണ്ണുമ്പോഴായാലും, നാലു നാലു വെച്ച് ഇഷ്ടിക എണ്ണുമ്പോഴായാലും ഒക്കെ ഏതൊരു മനുഷ്യനും മനസ്സിലിട്ട് അമ്മാനമാടുന്ന, നല്ല ഒരു താളത്തിലോടുന്ന സംഖ്യാശ്രേണി. നാവില്‍ വഴങ്ങാന്‍ വേണ്ടി നമ്മള്‍ക്കിവനെ ഒരു 'താളം' എന്നു വിളിക്കാം. ആദ്യത്തെ വരി ഏഴു സംഖ്യകളുടെ ഒരു താളം (7-താളം എന്നു ചുരുക്കി വിളിക്കാം), രണ്ടാമത്തെ വരി ആറ് സംഖ്യകളുടെ ഒരു താളം (6-താളം) നിലയ്ക്കാതെ കൂടിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന മൂന്നാമത്തെ വരിയെ 'അനന്തതാളം' എന്നും . നാലാമത്തെ വരി ഒരു താളമല്ലെങ്കിലും അതിനുള്ളില്‍ ചില താളങ്ങള്‍ ഒളിച്ചിരിപ്പുണ്ട് - ഉദാഹരണത്തിന് 3, 5, 7 എന്ന 3-താളം, 5, 11, 17, 23 എന്ന 4-താളം. ഈ സംഖ്യാതാളങ്ങളെ എളുപ്പത്തില്‍ കൂട്ടാനുള്ള ചെപ്പടിവിദ്യ നമ്മളൊക്കെ എട്ടാം ക്ലാസ്സില്‍ പഠിച്ചതുമാണ്. പത്തു സംഖ്യകളുള്ള ഒരു താളത്തെ ഒന്നിനു താഴെ ഒന്നായി പത്ത് വരികളില്‍ എഴുതി, അതിന്റെ നേരെ വലതുവശത്ത് അതേ 10-താളത്തെ ഒന്നു തലകുത്തനെ (താഴെ നിന്നു മുകളിലോട്ട്) എഴുതിയിട്ടു ഓരൊ വരിയും കൂട്ടിയാല്‍ ഒരെ തുക തന്നെ കിട്ടും എന്ന നിരീക്ഷണമാണ് ആ ചെപ്പടിവിദ്യയുടെ പൊരുള്‍. ഈ ചെപ്പടി വിദ്യ ആദ്യമായി കണ്ടു പിടിച്ചത് കാള്‍ ഫ്രഡിറിഷ് ഗൗസ് ആണത്രേ, അതും പുള്ളിക്കാരന്‍ വള്ളിനിക്കറിട്ടു നടന്ന പ്രായത്തില്‍, അധ്യാപകനെ പറ്റിക്കാന്‍.

ഇന്നു നമ്മള്‍ മനസിലാക്കാന്‍ ശ്രമിക്കുന്നത് ആ പഴയ ക്ലാസിക്ക് ചെപ്പടിവിദ്യ അല്ല, മറിച്ച് ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടില്‍, കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ 1975-ല്‍, കണ്ടു പിടിക്കപെട്ട മറ്റൊരു ചെപ്പടിവിദ്യയുടെ മുക്കും മൂലയുമാണ്. ആ ചെപ്പടിവിദ്യ തെളിയിക്കപെടുന്നതുവരെ അറിയപെട്ടിരുന്നത് എര്‍ഡിഷ്-ട്യൂറാന്‍ അനുമാനമെന്നും, തെളിയിക്കപെട്ടതിനു ശേഷം അറിയപെടുന്നത് സെമെറെഡി സിദ്ധാന്തം എന്നുമാണ്. ഈ കഴിഞ്ഞ ആഴ്ച ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരമോന്നത ബഹുമതികളിലൊന്നായ അബേല്‍ സമ്മാനം എന്‍ഡ്രേ സെമെറെഡിക്കു ലഭിച്ചത് ഈ ചെപ്പടിവിദ്യ തെളിയച്ചതു കൂടി കണക്കിലെടുത്തിട്ടാണ്. എന്നാല്‍ ആ ചെപ്പടിവിദ്യയെക്കാള്‍ ശ്രദ്ധിക്കപെട്ടതും, പിന്നെ ഗണിതശാസ്ത്ര ലോകത്ത് ഒരു കാട്ടുതീ പോലെ കത്തി പടര്‍ന്നതും ആ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനായി സെമെറെഡി ഉപയോഗിച്ച ഒരു ആയുധമാണ്. സെമെറെഡിയുടെ 'റെഗുലാരിറ്റി ലെമ്മ' എന്നറിയപെടുന്ന ആയുധം. അദ്ദേഹത്തിന്റെ എഴുപതാം പിറന്നാള്‍ സമ്മാനമായി പുറത്തിറക്കിയ ലേഖനസമാഹാരത്തിന്റെ ശീര്‍ഷകം തന്നെ 'ആന്‍ ഇറെഗുലര്‍ മൈന്‍ഡ്' എന്നാണ്.

അതിലേക്കു പതുക്കെ തിരിച്ചു വരാം. ആദ്യം നമുക്കു രണ്ട് വര്‍ണ്ണപെന്‍സിലുകള്‍ കയ്യിലെടുക്കാം. എന്നിട്ട് ഒന്നു മുതല്‍ മേലോട്ടുള്ള സംഖ്യകള്‍ എഴുതി തുടങ്ങാം. ഓരോ സംഖ്യയും നിങ്ങള്‍ക്കിഷ്ടമുള്ള പെന്‍സില്‍ കൊണ്ടെഴുതാം. പക്ഷെ ഒരേ നിറത്തിലുള്ള 3 സംഖ്യകളുടെ ഒരു താളം (ഏകവര്‍ണ്ണ 3-താളം) വരാതെ ശ്രദ്ധിക്കണം എന്നു മാത്രം. അങ്ങിനെ നിങ്ങള്‍ക്ക് എത്രവരെ എഴുതാന്‍ പറ്റും എന്നതാണ് ചോദ്യം. വര്‍ണ്ണപെന്‍സിലെല്ലാം എന്റെ മകനെടുത്ത് ഒളിച്ചുവെച്ചതുകൊണ്ട് തത്കാലം ഞാന്‍ സംഖ്യകളെ രണ്ടു വരിയില്‍ എഴുതാം - മുകളിലത്തെ വരി ചുവപ്പാണെന്നും, താഴത്തേത് കറുപ്പാണെന്നും കരുതുക.

‌ഒരു ശ്രമം:

1, 2, _, _, 5, 6, _, _, (ചുവപ്പ്)
_, _, 3, 4, _, _, 7, 8, (കറുപ്പ്)

അടുത്ത സംഖ്യയായ 9 ചുവപ്പിലെഴുതിയാല്‍ 1, 5, 9 എന്ന ഒരു ചുവന്ന 3-താളം വരും, കറുപ്പിലെഴുതാമെന്നുവെച്ചാല്‍ 7, 8, 9 എന്ന ഒരു കറുത്ത 3-താളം വരും. ഞാന്‍ പലകുറി ശ്രമിച്ചിട്ടും എട്ടിനപ്പുറം കടക്കാന്‍ കഴിയുന്നില്ല. നിങ്ങള്‍ക്കാര്‍ക്കെങ്കിലും കൂടുതല്‍ കഴിയുന്നുണ്ടോ?

എന്നാല്‍ മുന്നു നിറത്തിലുള്ള പെന്‍സിലുകള്‍ ഉണ്ടെങ്കിലോ?

1, 2, _, _, 5, 6, _, _, _, _, _, _, 13, 14, _, 16, _, _, _, __, __, (ചുവപ്പ്)
_, _, 3, 4, _, _, 7, 8, _. 10, _, _, _, _, 15, _, _, _, 19, __, __, (കറുപ്പ്)
_, _, _, _, _, _, _, _, 9, _, 11, 12, _, _, _, _, 17, 18, _, 20, 21, ‌(നീല)

‌അടുത്ത സംഖ്യയായ 22 ചുവപ്പിലെഴുതിയാല്‍ 6, 14, 22 എന്ന ചുവന്ന 3-താളവും, കറുപ്പിലെഴുതിയാല്‍ 8, 15, 22 എന്ന കറുത്ത 3-താളവും, നീലയിലെഴുതിയാല്‍ 20, 21, 22 എന്ന നീല 3-താളവും നമ്മുടെ നിയമം തെറ്റിക്കും. അതുകൊണ്ട് ഞാന്‍ 21 കൊണ്ട് നിറുത്തി. നിങ്ങളോ? ഇനി ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഏകവര്‍ണ്ണ 3-താളം സൃഷ്ടിക്കാതെ എത്ര വേണമെങ്കിലും എഴുതാന്‍ കഴിയും എന്നു വരുമോ? ഇനി നാലു വര്‍ണ്ണങ്ങളുണ്ടെങ്കിലോ, ഏഴ് വര്‍ണ്ണങ്ങളുണ്ടെങ്കിലോ, ഒരുലക്ഷത്തിഎഴുപത്തിയാറായിരം കോടി വര്‍ണ്ണങ്ങളുണ്ടെങ്കിലോ? ഇങ്ങനെ നിറുത്താതെ, അതായതു ഒരു ഏകവര്‍ണ്ണ 3-താളം വരാതെ എഴുതികൊണ്ടേയിരിക്കാന്‍ കഴിയുമോ? കഴിയില്ല എന്നാണ് സെമെറെഡിയുടെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നത്.

ഇനി മൂന്നു സംഖ്യകളുടെ ഏകവര്‍ണ്ണ താളം സൃഷ്ടിച്ചാലും സാരമില്ല, പക്ഷെ നാലു സംഖ്യകളുടെ ഏകവര്‍ണ്ണ താളം (ഏകവര്‍ണ്ണ 4-‌താളം) സൃഷ്ടിക്കാതെ നോക്കിയാല്‍ മതി എന്നാണെങ്കിലോ? നിറുത്താതെ എഴുതികൊണ്ടേയിരിക്കാന്‍ കഴിയുമോ? ചെറിയ ചില വിട്ടുവീഴ്ച്ചകള്‍ ചിലപ്പോള്‍ വലിയ ലാഭമുണ്ടാക്കുമെന്നാണല്ലോ പ്രമാണം. ആദ്യം രണ്ടു വര്‍ണ്ണങ്ങള്‍ വെച്ച് ശ്രമിച്ച് നോക്കാം:

1, 2, 3, _, _, _, 7, 8, 9, _, _, _, 13, 14, 15, _, _, _, (ചുവപ്പ്)
_, _, _, 4, 5, 6, _, _, _, 10, 11, 12, _, _, _, 16, 17, 18, (കറുപ്പ്)

എന്തായാലും 3-താളം പാടില്ല എന്ന വാശി ഉപേക്ഷിച്ചതുകൊണ്ട് ഇത്തവണ 9 ഒക്കെ കഴിഞ്ഞുപോകാന്‍ പറ്റി. എന്നാലും മുകളിലത്തെ ശ്രമത്തില്‍ 19 എഴുതാന്‍ ഇനി നിവര്‍ത്തിയില്ല (1, 7, 13, 19 എന്ന ചുവപ്പു 4-താളമോ, 16, 17, 18, 19 എന്ന കറുത്ത 4-താളമോ എന്നെ തളച്ചിടും). ഒരു പക്ഷെ ഇനി ഇവിടെ കൂടുതല്‍ വര്‍ണ്ണങ്ങളുണ്ടെങ്കിലോ? അതും സെമെറെഡി സമ്മതിക്കില്ല. ഇനി 399 വരെ സംഖ്യകളുള്ള താളങ്ങള്‍ വന്നാലും സാരമില്ല, ഒരു 400-താളം വരാതിരുന്നാല്‍ മതി എന്ന വിട്ടുവീഴ്ച ചെയ്താല്‍ പോലും നിങ്ങളുടെ കയ്യിലുള്ള എല്ലാ വര്‍ണ്ണ പെന്‍സിലുകളും എടുത്താലും മതിയാവില്ല എന്നാണ് സെമെറെഡി പറയുന്നത്. അതു എനിക്കോ നിങ്ങള്‍ക്കോ മാത്രമല്ല ഒരു സര്‍വ്വജ്ഞാനിക്കും, സര്‍വ്വശക്തനും പോലും അതു കഴിയില്ല എന്നും സെമെറെഡി സ്ഥാപിക്കുന്നു. ഇതിനെ സത്യമെന്നോ സിദ്ധാന്തമെന്നോ നിങ്ങള്‍ക്കു വിളിക്കാം.

1, 2, 3, ... എന്നു തുടങ്ങി നമ്മള്‍ എണ്ണാനുപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ അനന്തമായ കൂട്ടത്തെ നമുക്കു സാമാന്യസംഖ്യകള്‍ എന്നു വിളിക്കാം. എങ്കില്‍ ഇതു വരെ പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങളെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തതിന്റെ രൂപത്തില്‍ ഇങ്ങനെ കുറിക്കാം.

സാമാന്യസംഖ്യകളെ ആര്, എങ്ങിനെ, എത്ര വര്‍ണ്ണങ്ങളായി വിഭജിച്ചാലും, അതിലേതെങ്കിലും ഒരു വര്‍ണത്തില്‍ അനന്തമായ ഒരു താളം ഉണ്ടായെ മതിയാവു.

ഈ അനന്തമായ താളമാണ് എതു പരിധിവരെയുള്ള (3, 4, 399) താളങ്ങള്‍ക്കുനേരെ കണ്ണടച്ചാലും പിന്നെയും നമ്മളെ വിടാതെ 400-താളമായും, 4000-താളമായുമൊക്കെ പിന്തുടരുന്നത്തും, ഏകവര്‍ണ്ണതാളരഹിതമായ ആ എഴുത്തു അനന്തമായി തുടരാന്‍ നമ്മളെ അനുവദിക്കാത്തതും. പക്ഷെ മേല്‍പ്പറഞ്ഞതു പോലും സെമെറെഡിയുടെ സിദ്ധാന്തതിന്റെ പൂര്‍ണമായ ശക്തി ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ തെളിയിക്കാവുന്ന ഒന്നാണ്, സെമെറെഡി തന്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിനും 50 വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു മുന്‍പേ തന്നെ വാന്‍ ഡെര്‍ വാര്‍ഡന്‍ എന്ന ഡച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ഈ വസ്തുതകളെല്ലാം തെളിയിച്ചതുമാണ്. അതു വാന്‍ ഡെര്‍ വാര്‍ഡന്‍ സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. സെമെറെഡിയുടെ സിദ്ധാന്തം അതിന്റെ ഏതാണ്ട് പൂര്‍ണശക്തിയില്‍ ഇങ്ങനെ കുറിക്കാം:

സാമാന്യസംഖ്യകളില്‍ നിന്നു ഏതെങ്കിലും ഒരു നിശ്ചിത ശതമാനം സംഖ്യകളെ തിരഞ്ഞെടുത്താല്‍, സംഖ്യകള്‍ ഏതുമായിക്കൊള്ളട്ടെ, ആ നിശ്ചിത ശതമാനം പൂജ്യത്തിനു മുകളിലാണെങ്കില്‍ തിരഞ്ഞെടുത്ത സംഖ്യകളുടെ ഉള്ളില്‍ തന്നെ അനന്തമായ ഒരു താളം ഉണ്ടായെ മതിയാവു.

എങ്ങനെയാണ് സാമാന്യസംഖ്യകളുടെ അനന്തമായ കൂട്ടത്തില്‍നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത ശതമാനം സംഖ്യകളെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത്? പലതരത്തില്‍ അതു ചെയ്യാം. 0.1% സംഖ്യകളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള ഒരു വഴി, ഒരു സംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുത്തതിനു ശേഷം 999 സംഖ്യകളെ ഉപേക്ഷിച്ച് അടുത്ത ഒരു സംഖ്യ എടുത്ത് വീണ്ടും 999 ഉപേക്ഷിച്ച് അങ്ങനെ മുന്നോട്ടു പോകുക എന്നതാണ്. പക്ഷെ ഇവിടെ നമ്മള്‍ തിരഞ്ഞെടുത്ത കൂട്ടം തന്നെ ഒരു അനന്തതാളമാണ്. തിരഞ്ഞെടുത്ത ഏതൊരു സംഖ്യയേയും അതിനു‌ മുന്‍പ് ഉപേക്ഷിച്ച മറ്റേതൊരു സംഖ്യ വെച്ചും പകരംവെച്ച് നമുക്കു അതേ അനുപാതതിലുള്ള അനേകം പുതിയ കൂട്ടങ്ങളെ സൃഷ്ടിക്കാവുന്നതാണ്. അങ്ങനെ അനന്തതാളങ്ങളെ ഒക്കെ മുറിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കാവുന്നതാണ്. സാമാന്യ സംഖ്യകളെ 1000 വര്‍ണ്ണങ്ങളായി തിരിച്ചാല്‍ അതില്‍ ഏറ്റവും വലിയ വര്‍ണ്ണകൂട്ടത്തില്‍ 0.1 ശതമാനമോ അതിലധികമോ സംഖ്യകള്‍ പെടും1 എന്നതിനാല്‍ സെമെറെഡിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തില്‍ നിന്നും ഒറ്റയടിക്കു തന്നെ വാന്‍ ഡെര്‍ വാര്‍ഡന്റെ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാം.

അങ്ങനെയാണെങ്കില്‍ സാമാന്യസംഖ്യകളില്‍ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന ഏതു പരമ്പരയിലും ഒരു അനന്തതാളം ഒളിച്ചിരിക്കുമോ? 1 , 2, 4, 8, 16, ... എന്നിങ്ങനെ സമഗുണിത പ്രൊഗ്രഷന്‍ (ജ്യോമെട്രിക്ക് പ്രൊഗ്രഷന്‍) തിരഞ്ഞെടുത്താല്‍ അതില്‍ രണ്ടില്‍ കൂടുതല്‍ നീളമുള്ള ഒരു താളവും ഇല്ല എന്നു കാണാന്‍ എളുപ്പമാണ്. പക്ഷെ ഈ ജ്യോമെട്രിക്ക് പ്രൊഗ്രഷന്‍ സാമാന്യസംഖ്യകളുടെ പൂജ്യം ശതമാനമെ വരുന്നുള്ളു! കൂടുതല്‍ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാല്‍ നമ്മള്‍ നിരീക്ഷിച്ചു കഴിഞ്ഞ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... അങ്ങിനെ) കൂടി കൂടി വരുന്തോറും അതിനുള്ളില്‍ നിന്നും നമ്മള്‍ തിരഞ്ഞെടുത്ത സംഖ്യകളുടെ (1, 2, 4, 8, ... അങ്ങിനെ) അനുപാതം കുറഞ്ഞു കുറഞ്ഞു പൂജ്യത്തിലേക്കടുക്കുന്നു. അതുകൊണ്ടുതന്നെ ഈ പരമ്പര സെമെറെഡി സിദ്ധാന്തിന്റെ പരിധിയില്‍ വരുന്നതല്ല. അതുപോലെ സെമെറെഡി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പരിധിയില്‍ വരാത്ത മറ്റൊരു കൂട്ടം സംഖ്യകളാണ് അവിഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ (പ്രൈം സംഖ്യകള്‍). മൊത്തം സാമാന്യസംഖ്യകളുടെ പൂജ്യം ശതമാനമേ ഉള്ളു അവിഭാജ്യസംഖ്യകള്‍. സെമെറെഡിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പരിധിക്കു പുറത്താണെങ്കിലും ഈ കൂട്ടം പലര്‍ക്കും വളരെ പ്രിയപെട്ട ഒരു കൂട്ടമാണ്. നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ മുന്‍പേ ലഗ്രാഞ്ച്, വാറിങ്ങ്, ഹാര്‍ഡി, ലിറ്റില്‍വുഡ്, തുടങ്ങി അനേകം മഹാഗണിതജ്ഞര്‍ അന്വേഷിച്ചിറങ്ങയിതാണ് അവിഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഇടയില്‍ ഒരു അനന്തതാളത്തെ. ഇന്നുവരെ അങ്ങിനെ ഒരു താളത്തെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ആര്‍ക്കും കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല. എന്നാല്‍ സെമെറെഡിയുടെ സിദ്ധാന്തതില്‍ നിന്നും ശക്തി ആവാഹിച്ചു കൊണ്ടു രണ്ട് യുവഗണിതജ്ഞര്‍ (ബെന്‍ ഗ്രീന്‍, ടെറെന്‍സ് ടാവോ) 2004-ല്‍ അവിഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഒരു അനന്തതാളം എന്തായാലും ഉണ്ടാവും എന്നു തെളിയിച്ചു. (ഇനി അതിലൊന്നിനെ കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ മതി!2). ഗ്രീന്‍-ടാവോ സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപെടുന്ന ഈ കണ്ടെത്തലിനും കൂടെ ചേര്‍ത്താണ് ടേറെന്‍സ് ടാവോക്കു 2006-ല്‍ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരുപക്ഷെ പരമോന്നത ബഹുമതിയായ ഫീല്‍ഡ്സ് മെഡല്‍ ലഭിച്ചത്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണവും, സമ്മിശ്രണവും, ക്രമീകരണവും ഒക്കെ പഠിക്കുന്ന ഒരു ശാഖയാണ് കോമ്പിനറ്റോറിക്സ് . ഒന്ന് മുതല്‍ നൂറു വരെയുള്ള സംഖ്യകളില്‍ എത്രയെണ്ണത്തിന്റെ അക്കങ്ങളുടെ തുക ഒമ്പതാകും?, പത്ത് കുട്ടികളില്‍ നിന്നും മൂന്നു പേരെ എത്ര തരത്തില്‍ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, പത്തു കുട്ടികളെ ഒരു വട്ടമേശക്കു ചുറ്റും എത്ര തരത്തില്‍ ക്രമീകരിക്കാം തുടങ്ങിയ ചൊദ്യങ്ങളൊക്കെ ഈ ശാഖയില്‍ പെടും. ഈ ലേഖനത്തില്‍ ഇതുവരെ പരാമര്‍ശിച്ച കാര്യങ്ങളും ഇതെ ശാഖയില്‍ പെട്ടവയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ തന്നെ മറ്റു ശാഖകളെ അപേക്ഷിച്ച് അല്പംകൂടി എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാവുന്ന ചൊദ്യങ്ങള്‍ നിറഞ്ഞതാണ് ഈ ശാഖ. (എന്നുവെച്ച് ഉത്തരം കണ്ടെത്തുക എപ്പോഴും എളുപ്പമായികൊള്ളണം എന്നില്ല.) അതുകൊണ്ടു തന്നെ വലിയ സര്‍വ്വകലാശാലകളിലും ഗവേഷണകേന്ദ്രങ്ങളിലും ഒതുങ്ങി നില്ക്കാതെ സ്കൂള്‍ ക്ലാസ് മുറികളിലേക്കും, ഗണിതസ്നേഹികളുടെ സംഘങ്ങളിലേക്കും, കുസൃതിച്ചോദ്യങ്ങളിലേക്കുമൊക്കെ പടര്‍ന്നു കയറുന്നതാണ് ഈ ശാഖ. ഇതേ കാരണം കൊണ്ടു തന്നെ ദന്തഗോപുരവാസികളായ, ഇന്റഗ്രല്‍ ചിഹ്നം പോലത്തെ വലിയ കൊമ്പുള്ള, ചില ഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു പലപ്പോഴും ഈ ശാഖയോടൊരല്പം പുച്ഛമാണ്. "ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പുറമ്പോക്കു മാത്രമാണ് കോമ്പിനറ്റോറിക്സ്" എന്നു പറഞ്ഞവരുമുണ്ട് അക്കൂട്ടത്തില്‍. സ്വയമെ ഒരു അതുല്യ കോമ്പിനറ്റോറിയലിസ്റ്റും, സെമെറെഡി ഉള്‍പടെയുള്ള അനേകം പ്രതിഭാശാലികളെ കോമ്പിനറ്റോറിക്സിലേക്കു ആനയിച്ച ഒരു കാന്തികവ്യക്തിത്വത്തിന്റെ ഉടമയും ആയിരുന്ന പാള്‍ എര്‍ഡിഷിനെ പോലുള്ള പ്രഗല്‍ഭരുടെ ഇടപെടെലും, പിന്നെ കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ (അധവാ കമ്പ്യൂട്ടിങ്ങിന്റെ) വിപ്ലവകരമായ പ്രചാരവുമാണ് ഈ ശാഖയ്ക്ക് വീണ്ടും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ രംഗമധ്യത്തിലേക്കുള്ള വഴിതെളിച്ചത്. അതുകൊണ്ടാണ് ഗണിതശാസ്ത്രവടവൃക്ഷത്തിന്റെ താഴെ നിന്നു കോമ്പിനറ്റോറിക്സ് എന്ന കൊമ്പില്‍ പിടിച്ചുതൂങ്ങി മരംകയറ്റം പടിക്കാന്‍ ശ്രമിക്കുന്ന ഈ ലേഖകന്‍ സെമെറെഡിക്കും, അതുവഴി കോമ്പിനറ്റോറിക്സ് ശാഖയ്ക്കും, ഇതുപോലുള്ള വലിയ ബഹുമതികള്‍ ലഭിക്കുമ്പോള്‍ കോരിത്തരിക്കുന്നതും ഇങ്ങനെ എഴുതിക്കൂടുന്നതും.

• 1. ഇതു തെളിയിക്കാന്‍ പ്രാവിന്‍കൂടു സിദ്ധാന്തം മതി. എല്ലാ വര്‍ണ്ണക്കൂട്ടങ്ങളും 0.1 ശതമാനത്തിലും താഴെയാണെങ്കില്‍ അവ ആയിരവും ചേര്‍ത്തുവെച്ചാലും 100 ശതമാനം ആവില്ലല്ലോ!
• 2. ചില പ്രത്യേക സവിശേഷതകളുള്ള ഒരു വസ്തുവിനെ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാതെതന്നെ ആ എല്ലാ സവിശേഷതകളുമുള്ള ഒരു വസ്തു എന്തായാലും ഉണ്ടാവും എന്നു തെളിയുക്കുന്ന പ്രക്രിയ ഗണിത്തത്തില്‍ പ്രഭലമാണ്. ഇതിനെ എക്സിസ്റ്റെന്‍ഷ്യല്‍ അധവാ നോണ്‍-കണ്‍സ്റ്റ്രക്ടീവ് തെളിവുകള്‍ എന്നു വിളിക്കും.